Matemáticas

Definición de matemáticas 

En matemática, definición, en términos generales, es delimitar, o sea, indicar, expresar el límite que separa un objeto de todos los demás. Los pilares estructurales de la matemática son: la definición, el teorema y la demostración matemática. Las definiciones señalan con precisión los conceptos de importancia en la teoría. Los teoremas ( o proposiciones) expresan exactamente lo que hay de verdadero en esos conceptos y las demostraciones revelan, en forma contundente, la verdad de esas afirmaciones.Los objetos matemáticos existen mediante definiciones. Por ejemplo, un número puede ser un natural y se llama número compuesto o número primo, par o impar, siempre que cumpla condiciones precisas y específicas. Estas condiciones específicas son la definición del concepto.Las definiciones al igual que las conjeturas, axiomas, postulados y teoremas entre otros conceptos matemáticos pueden enunciarse en un lenguaje formalizado o en un lenguaje formal propio de los sistemas formales de la lógica matemática.

Esta disciplina trabaja con los sistemas axiomáticos como el de Peano que involucran: conceptos no definidos (concepto primitivo), conceptos definidos (definiciones), axiomas, teoremas.

Geometría elemental

En geometría son clásicos los postulados de Euclides y más reciente la axiomatización de Hilbert.

• Conceptos no definidos: punto, recta, plano.

• Conceptos definidos: segmento, ángulo, bisectriz.

• Axiomas: proposiciones sobre los conceptos no definidos. Para el caso, va el el siguiente axioma: "Por dos puntos diferentes pasa una recta y sólo una".³

• Teoremas (proposiciones que deben probarse).

• Teoría de conjuntos

  En teoría de conjuntos, el axioma de extensionalidad es un axioma que establece que dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos.EnunciadoEl enunciado del axioma establece que si dos conjuntos tienen los mismos elementos entonces son idénticos; utilizando cuantificadores y conectivas lógicas:

  Axioma de extensionalidad Análisis matemático Límite de una función Si la función real  tiene límite matemático  en  podemos decir de manera informal que la función  tiende hacia el límite  cerca de  si se puede hacer que  esté tan cerca como queramos de  haciendo que  esté suficientemente cerca de  siendo  distinto de . Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice: El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo  existe un tal que para todo número real x en el dominio de la función . Álgebra abstracta En álgebra abstracta pueden definirse estructuras algebraicas, por ejemplo: Un grupo  es un conjunto G en el que se ha definido una operación binaria interna , que satisface las siguientes propiedades o axiomas:5 Asociatividad:  Elemento neutro:  Elemento simétrico:  Por lo tanto, un grupo está formado por un conjunto de elementos abstractos o símbolos, y por una ley de composición interna (operación binaria) que los relaciona. Dicha ley de composición interna indica cómo deben ser manipulados los elementos del grupo. En este enunciado el elemento simétrico es una definición de inverso multiplicativo en teoría de grupos.